三角形数是能表示为k(k+1)/2的正整数n，等价于1+8n为完全平方数且其平方根减1为正偶数；需用round后平方验证避免浮点精度误差。

什么是三角形数，以及它的数学定义

一个正整数 n 是三角形数，当且仅当存在某个正整数 k，使得 n = k * (k + 1) / 2。换句话说，它能排成等边三角形点阵，比如 1、3、6、10、15……都是三角形数。

直接遍历 k 从 1 开始试算虽可行，但效率低；更优解是利用代数变形：把等式整理为二次方程 k² + k − 2n = 0，解得 k = (−1 + sqrt(1 + 8n)) / 2。只要这个 k 是正整数，n 就是三角形数。

用 sqrt 判断是否为三角形数（推荐）

核心思路：计算 1 + 8 * n 的平方根，检查它是否为整数，再验证除以 2 后是否为正整数。

注意浮点精度问题——不能直接用 == 比较 double，要用取整后反向验证。

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• 先确保 n > 0，负数和零都不是三角形数
• 计算 discriminant = 1 + 8LL * n（用 long long 防溢出）
• 用 std::sqrt 得到 root = std::sqrt(discriminant)
• 取最接近的整数 int k = static_cast(std::round(root))，再检查 k * k == discriminant
• 最后验证 (k - 1) % 2 == 0 且 (k - 1) / 2 > 0，即对应正整数 k

bool isTriangular(long long n) {
    if (n <= 0) return false;
    long long disc = 1 + 8 * n;
    long long root = static_cast(std::round(std::sqrt(static_cast(disc))));
    if (root * root != disc) return false;
    return (root - 1) % 2 == 0 && (root - 1) / 2 > 0;
}

为什么不用 std::sqrt 直接转 int 截断？

因为 std::sqrt 返回 double，而大整数（如 disc > 2⁵³）无法被 double 精确表示。例如当 n = 1e12，disc = 8e12 + 1，其真实平方根可能被表示为 2828427.1247461903...，截断成 int 得到 2828427，但实际应为 2828427 或 2828428 —— 错一位就导致 k * k != disc 判定失败。

所以必须用 round + 平方回检，而不是 floor 或强制 static_cast。

• 不安全写法：int root = (int)sqrt(disc); → 易错判否
• 安全写法：先 round，再验证 root * root == disc
• 对极大 n（如接近 LLONG_MAX），可改用整数开方（如二分或 std::sqrtl + long double），但日常场景 double + round 已足够

边界与性能注意事项

该方法时间复杂度是 O(1)，远优于暴力循环找 k。但要注意几个易忽略点：

• n 类型应为 long long 或更大，否则 8 * n 可能溢出 int
• std::sqrt 对负数未定义，必须提前过滤 n
• 某些编译器（如 MSVC）对 sqrt 的 double 精度略低，若用于金融/验证级场景，建议加 ±1 容错校验（即检查 (root-1)*(root-1)、root*root、(root+1)*(root+1) 是否等于 disc）

真正难的不是公式，而是处理整型溢出和浮点舍入这两个细节。漏掉任意一个，都可能在某个大数上静默返回错误结果。

https://www.php.cn/faq/2027365.html